6.1 定积分的概念

对在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上定义的函数 ${\displaystyle f(x)}$, 我们在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上取点 ${\displaystyle x_0,x_1,\dots ,x_n}$ 使得 ${\displaystyle a=x_0<x_1<\cdot \cdot \cdot <x_n=b}$, 称这种取点为一个分割, 用 ${\displaystyle \pi }$ 表示. 在每个区间 ${\displaystyle [x_{i-1},x_i]}$ 上取点 ${\displaystyle {\xi }_i,i=1,\dots ,n}$, 将 ${\displaystyle \{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n\}}$ 称为分割的值点, 记为 ${\displaystyle \xi (\pi )}$. 记

称为分割的宽度. 作和式 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}$, 记作 ${\displaystyle \sum _{\pi }f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}$. 若 ${\displaystyle \underset{||\pi ||\to 0}{lim}\sum _{\pi }f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}$ 存在 (设为 ${\displaystyle I}$), 则称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上Riemann 可积, 记为 ${\displaystyle f(x)\in R[a,b]}$. 称 ${\displaystyle I}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的定积分. 也即

设 ${\displaystyle f(x)\in R[a,b]}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上有原函数 ${\displaystyle F(x)}$, ${\displaystyle F(x)\in C[a,b]}$, 则